Aufgabe 3.12 (Umschlingungswinkel)
Erstellt: 20.2.2020
Ersteller: W. Kemmetm\303\274ller
\303\204nderungen:
restart;
with(LinearAlgebra):
with(VectorCalculus,Jacobian):
with(VectorCalculus,SpaceCurve):
with(plots):
with(ColorTools):
Berechnung des notwendigen Umschlingungswinkels
Ausgangspunkt: Masse m wird durch 10N bei alpha=360\302\260 gehalten. Damit muss gelten
eq_seil1:=m*g=fS1*exp(mu*alpha1);
LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSllcV9zZWlsMUdGKC8qJkkibUdGKCIiIkkiZ0dGKEYxKiZJJGZTMUdGKEYxLUkkZXhwR0YlNiMqJkkjbXVHRihGMUknYWxwaGExR0YoRjFGMTcjRi4=
Parameter
set_param:={fS1=10,alpha1=2*Pi};
LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSpzZXRfcGFyYW1HRig8JC9JJ2FscGhhMUdGKCwkSSNQaUdGJiIiIy9JJGZTMUdGKCIjNTcjRi4=
L\303\266sen nach dem unbekannten Reibkoeffizient mu
eq_mu:=mu=solve(eq_seil1,mu);
LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSZlcV9tdUdGKC9JI211R0YoKiYtSSNsbkdGJTYjKihJIm1HRigiIiJJImdHRihGNkkkZlMxR0YoISIiRjZJJ2FscGhhMUdGKEY5NyNGLg==
Fall 2:k fache Masse, gleiche Seilkraft 10 N
eq_seil2:=k*m*g=fS1*exp(mu*alpha2);
LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSllcV9zZWlsMkdGKC8qKEkia0dGKCIiIkkibUdGKEYxSSJnR0YoRjEqJkkkZlMxR0YoRjEtSSRleHBHRiU2IyomSSNtdUdGKEYxSSdhbHBoYTJHRihGMUYxNyNGLg==
L\303\266sung nach alpha2
eq_alpha2:=alpha2=solve(eq_seil2,alpha2);
LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSplcV9hbHBoYTJHRigvSSdhbHBoYTJHRigqJi1JI2xuR0YlNiMqKkkia0dGKCIiIkkibUdGKEY2SSJnR0YoRjZJJGZTMUdGKCEiIkY2SSNtdUdGKEY6NyNGLg==
Einsetzen der Zwischenergebnisse
sol_alpha2num:=eval(eval(eq_alpha2,eq_mu),set_param);
LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SS5zb2xfYWxwaGEybnVtR0YoL0knYWxwaGEyR0YoLCQqKC1JI2xuR0YlNiMsJCooSSJrR0YoIiIiSSJtR0YoRjhJImdHRihGOCNGOCIjNUY4LUYzNiMsJComRjlGOEY6RjhGOyEiIkkjUGlHRiZGOCIiIzcjRi4=
Zahlenwert f\303\274r k=10 und m=100 kg
evalf(eval(rhs(sol_alpha2num),{k=10,m=100,g=9.81})/Pi*180);
JCIrYyNIdlMmISIo
Darstellung des Umschlingungswinkel als Funktion von k:
plot(eval(rhs(sol_alpha2num),{m=100,g=9.81})/Pi*180,k=0.01..10);
6*-%'CURVESG6$7jw7$$"""!"#$!2.P?*)G^e]"!#;7$$"2Gc7vUVll"!#=$"1-h9v+d6Q!#97$$"2d7D]&o38B!#=$"1"GXOu!HKk!#97$$"2')oPDGI'pH!#=$"17!\-u[OR)!#97$$"1^-05P<EO!#<$"1zDDv?hh**!#97$$"1x`2l0ER\!#<$"2MG?Etb(Q7!#97$$"1.05?uM_i!#<$"2[)p.$o7QU"!#97$$"1/29BrOP&)!#<$"2_cMkyO$o;!#97$$"204=EoQA3"!#<$"2/J]]m5X&=!#97$$"2'4>Q5u='f"!#<$"1N(H"*z]&f@!#87$$"2&['HR#Ha8@!#<$"2i')*Rkx$*zB!#97$$"1^,.P&R%GE!#;$"2L:E/9(3^D!#97$$"1V'G(3Y"e5$!#;$"2ORO#4C4#o#!#97$$"1Y"H[%)3,g$!#;$"1OCs@v-)z#!#87$$"1)\**3l386%!#;$"212jMqdA!H!#97$$"1V&3F.p3i%!#;$"1*)H^/#yR*H!#87$$"1f;L=X,X^!#;$"1r#HE%GKyI!#87$$"1NoOZ@o1c!#;$"2%=]rD'yd9$!#97$$"1,*z>b5k7'!#;$"1VTK$zo`@$!#87$$"1&yc8,t#[m!#;$"2(Hlv\5azK!#97$$"1W'G(*=%=^r!#;$"1BLB3RyOL!#87$$"17AW>d(yg(!#;$"1VDCP,Q&Q$!#87$$"16@U?h#4:)!#;$"1iM(\(R]RM!#87$$"1`/4U5'4h)!#;$"1XgN4Rg#[$!#87$$"1<Lm>54Y"*!#;$"1(e&*\1K*HN!#87$$"1-05C<x>'*!#;$"1Tp8@)p&pN!#87$$"226AJXZR,"!#;$"1XG%y4t3h$!#87$$"1/3E]aVj5!#:$"1`u'R:"G[O!#87$$"2i@VO)42:6!#;$"1K)own+bo$!#87$$"2lGd@_)[i6!#;$"22tW)Q>>=P!#97$$"2$e;LVZj87!#;$"20#3t>:*>v$!#97$$"27C[FHhnE"!#;$"2uU%)e#Qi&y$!#97$$"2BX!>5"3IJ"!#;$"1xk\*zrP"Q!#87$$"2_+,+%f&HO"!#;$"1TXV;)zI%Q!#87$$"2)pRfNpb99!#;$"1-HVO3DsQ!#87$$"2Pv]FWQ]Y"!#;$"1RUVbpx**Q!#87$$"2%ycj'*=)Q^"!#;$"1ZB:\:_DR!#87$$"2*pRfCU6o:!#;$"22!Q(o*3:`R!#97$$"2NsWLQWoh"!#;$"2:tH\"R<xR!#97$$"2lFb!HU()o;!#;$"2vy*\xr.-S!#97$$"2KiCC+@gr"!#;$"1B0(pX1R-%!#87$$"2117)y[cn<!#;$"2$)*3D0#Qr/%!#97$$"1AWe\O1;=!#:$"1X0e!)pQoS!#87$$"2d8F$R)en'=!#;$"17>X!))****3%!#87$$"2&)oPNlAj">!#;$"1#zrtJq06%!#87$$"2Y!4ot8@o>!#;$"2%Q\\mKaJT!#97$$"2v\*Hyj==?!#;$"1))zz;kA^T!#87$$"1f=dQIHp?!#:$"2aK<q\d3<%!#97$$"0(R*)4l(*>@!#9$"0yJh"H&)*=%!#77$$"2mGdiN\l;#!#;$"1W&*zU:"p?%!#87$$"1jE$R4F*>A!#:$"0U+AN<gA%!#77$$"21:I)y(owE#!#;$"/dfl0sUU!#67$$"2b4>DPr&=B!#;$"1F]T"oY,E%!#87$$"0-/(\;HnB!#9$"2WhPZ,rkF%!#97$$"1'=PiD*Q@C!#:$"2k'>+>!3UH%!#97$$"017&3QBoC!#9$"2Yn`#4(\#4V!#97$$"1@UM%z-9_#!#:$"2M6Y!z+)fK%!#97$$"2u^.Hbg)pD!#;$"2v+Ln^B4M%!#97$$"228E`slGi#!#;$"1Y4mu*\pN%!#87$$"2$Gd%\A+'oE!#;$"2$)>#*)G*>0P%!#97$$"1Gc_"['o?F!#:$"1$>#f,Tp&Q%!#87$$"0%z)RB**4x#!#9$"1@[L^#y+S%!#87$$"1JiM="z7#G!#:$"1Y-))>W>9W!#87$$"1293KSPrG!#:$"1O#4ll5!GW!#87$$"2tY$Rh&*\>H!#;$"196>q&e5W%!#87$$"2BW)3LX_rH!#;$"2ZV%*o&R#\X%!#97$$"2F^-M536-$!#;$"1U=MrX"zY%!#87$$"2PqSjZ#HtI!#;$"2Y!)>(*He8[%!#97$$"2Y"H=+>`?J!#;$"1-0"**pKL\%!#87$$"1hA&oISF<$!#:$"2<)e#Qddj]%!#97$$"2C^-G'ouAK!#;$"1K.28Pj=X!#87$$"0)fR,<jsK!#9$"2%oA#*H;pIX!#97$$"2mE`'3mtCL!#;$"2c!)fQ["4VX!#97$$"2CZ%RIrssL!#;$"2W'*y[ZTVb%!#97$$"13;7*)f(=U$!#:$"2$Q-7!H)plX!#97$$"1=O7p@9wM!#:$"2ClpUh\!yX!#97$$"2V*)y,vv__$!#;$"2BgaM_n!*e%!#97$$"2OmK+/Cbd$!#;$"1aYq)px,g%!#87$$"2//3lDDmi$!#;$"22b;UY<8h%!#97$$"2&e;V=sftO!#;$"0(of%[>9i%!#77$$"2%zex3ymBP!#;$"2%)e0!fm/KY!#97$$"1e;`esNtP!#:$"1B6#of_Ck%!#87$$"1'3<W_4l#Q!#:$"2:D0s5LMl%!#97$$"2tb6l49M(Q!#;$"1Y&\'zp*Hm%!#87$$"2')yddBKv#R!#;$"02xF%)))Qn%!#77$$"1#['4%opj(R!#:$"0jAZ%)*e$o%!#77$$"2&Rz['y"pCS!#;$"17.G9>2$p%!#87$$"1*)y<qNlwS!#:$"1PSd%)>9.Z!#87$$"0(R**\b#)GT!#9$"2xd+UZCJr%!#97$$"1HemEVHwT!#:$"0rT+2)4AZ!#77$$"1yc$*eSqEU!#:$"0*3*)Rm^JZ!#77$$",3.**eF%!#5$"1jz%)f0gSZ!#87$$"1&**)H**oAHV!#:$"2WU,9KI.v%!#97$$"1[%*GK.PvV!#:$"2M2]Y.`'eZ!#97$$"2NmKEun$GW!#;$"1lLq`V5oZ!#87$$"106_%4)=yW!#:$"2%)e8,^')ox%!#97$$"14<9Os_FX!#:$"2c[oG2)[&y%!#97$$"04=ui0pd%!#9$"2lT>t8.Sz%!#97$$"1D]!4Yosi%!#:$"1N"fA&Qf-[!#87$$"1lHp?Al!o%!#:$"1)3:*y$)f6[!#87$$"1-0!4!**fHZ!#:$"1"*yr\[w>[!#87$$"1MnWYv"zx%!#:$"2Wg!>JPuF[!#97$$"209GVJo&H[!#;$"2%R#)G$G%=O[!#97$$"2D^-Ik16)[!#;$"1zs$>'p^W[!#87$$"2X#[c``OF\!#;$"280^)\9#>&[!#97$$"1Ga3K@;#)\!#:$"2;oPt<.1'[!#97$$"1PuGNN,G]!#:$"2jm%3!e%zn[!#97$$"1-/[,>k"3&!#:$"1yx%o)H7w[!#87$$"1$pQ<)\#G8&!#:$"2/aQX2!*R)[!#97$$"1(\*zv`_y^!#:$"2MqLWV[4*[!#97$$"0)ed[-#*H_!#9$"1Qkz]3q)*[!#87$$"1`1$**zb;G&!#:$"199n!4Gk!\!#87$$"1.2Cha9L`!#:$"1t)=]"Q/9\!#87$$"1_0ToH)3Q&!#:$"1Ds<l"R5#\!#87$$"1.1-#R7.V&!#:$"2&GxtZt@G\!#97$$"1QwisBV"[&!#:$"2')oy#HEdN\!#97$$"1V&33T)QKb!#:$"0wS4POG%\!#77$$"1b3PfH![e&!#:$"1u3r]&Q-&\!#87$$"1rVFA(p4j&!#:$"20)f'p2,n&\!#97$$"1yctiD%Ho&!#:$"1i=S`K"R'\!#87$$"1nLn3)G^t&!#:$"2;_D9)*)3r\!#97$$"1`0^E*>ay&!#:$"1()eO4E%z(\!#87$$"2&4>[z!*3Je!#;$"1d-IS\6%)\!#87$$"2'**)z&>TR&)e!#;$"2&RB1F=R"*\!#97$$"1Mnu6wRJf!#:$"1C!=P'R](*\!#87$$"1@S]41"\)f!#:$"2%R:#pYaX+&!#97$$"1Rx%*z'yA.'!#:$"1HoxcHu5]!#87$$"1*zf1'*[U3'!#:$"1B>.^qZ<]!#87$$"1$\)zdptLh!#:$"0;lzCOQ-&!#77$$"1/4="\s`='!#:$"1W5eRpTI]!#87$$"1v\pH+zKi!#:$"1sv&*f=TO]!#87$$"1Z$p3DORG'!#:$"0fckFFG/&!#77$$"2&HfG+G1Pj!#;$"13!3!QgV\]!#87$$"1T"Gxh4LQ'!#:$"2(oL'H.W^0&!#97$$"1$pQvWdKV'!#:$"1)G;"eDEh]!#87$$"1e;8V%e[['!#:$"1[A[0R`n]!#87$$"1V%)G]*R``'!#:$"0my34@O2&!#77$$"1nL</M=%e'!#:$"1M^8khYz]!#87$$"1f;8KdTQm!#:$"1T)4e`0f3&!#87$$"17C)3*e9(o'!#:$"1$G`R)ok"4&!#87$$"1lHfOd<Rn!#:$"1')*fu*4t(4&!#87$$"17B'*4DK'y'!#:$"1,#*3yO?.^!#87$$"1\(\jQmy$o!#:$"2$z"ewUV"4^!#97$$"16@7d^O')o!#:$"2u9Gf_"p9^!#97$$"1D['oMgq$p!#:$"1`Z4u#\/7&!#87$$"1x`2hTi')p!#:$"1XI')*)z.E^!#87$$"1%f=7)G^Qq!#:$"0)QMOl%=8&!#77$$"1'=Pe)y[)3(!#:$"1e`b;0SP^!#87$$"1[&4ha%fRr!#:$"1))\;8*RI9&!#87$$"1f;V<!y->(!#:$"16C3&)Gf[^!#87$$"1v\zj3&oB(!#:$"1&f.$)3hO:&!#87$$"1_.Z,'G-H(!#:$"0)>Fh)H%f^!#77$$"0%yO'GqzL(!#9$"1^&o)[Qbk^!#87$$"1$yc+)G())Q(!#:$"1mD\'\!)*p^!#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Das Ergebnis zeigt, dass durch geringf\303\274gige Erh\303\266hung des Umschlingungswinkel eine sehr starke Erh\303\266hung der gehaltenen Last erfolgt. Dies wird unter anderem in Sicherungssystemen beim Sportklettern oder bei Winschen in Segelbooten ausgenutzt.